题目内容

数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：am+n=am+an+mn，则
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
a2011
=（　　）
A、
2010
2011
B、
2011
1006
C、
2011
2012
D、
2010
1006
分析：由an+m=am+an+mn对任意的m，n可得an+1=an+a1+n=1+n，即an+1-an=1+n，利用叠加法可求an，然后在利用裂项求和的方法进行求解即可
解答：解：因为an+m=am+an+mn对任意的m，n∈N*都成立
所以an+1=an+a1+n=1+n
即an+1-an=1+n
所以a2-a1=2
   a3-a2=3
…
   an-an-1=n
把上面n-1个式子相加可得，an-a1=2+3+4+…+n
所以an=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2

从而有
1
an
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
)
所以
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=2(1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
)=2(1-
1
n+1
)=
2n
n+1

则
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2011
=
2×2011
2012
=
2011
1006

故选：B
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题的关键是根据已知an+m=am+an+mn对任意的m，n都成立构造出an+1-an=1+n，从而构造出符合利用叠加法求通项的形式，解决本题的关键二是求出数列的通项后，还要能利用裂项目求和的方法进行求和，本题是一道构思巧妙的试题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
数列{an}满足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）当a=
1
2
时，证明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．
（2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
（2）设a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
5
3
．
（2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
5
3
时，T n＜
5-3a
3
．
已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
x
bx+1
（x＞0），数列{an}满足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

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