题目内容
【题目】已知函数(x)=xlnx,g(x)=ax3-
.
(Ⅰ)求函数(x)的单调递增区间和最小值；
(Ⅱ)若函数y= (x)与函数y =g(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值。
【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)a=
.
【解析】试题分析：(Ⅰ)求出
的导数，求得单调区间和极值，即可得最小值；(Ⅱ)设函数
与函数
的图象在交点
处存在公共切线，则根据切线的斜率相等以及交点在两个函数的图象上可得
，列出方程组，结合（Ⅰ），即可求出实数
的值.
试题解析：(Ⅰ)∵
∴
，
∴当
时，
；当
时，
.
∴函数在
上单调递减,在
上单调递增.
∴所求函数的单调递增区间为，最小值为
.
(Ⅱ) 设函数与函数的图象在交点处存在公共切线，则根据切线的斜率相等以及交点在两个函数的图象上可得， 即
(*),变形得
.
∴
，化简得
∴
是方程
的一个实数解.
又∵由(Ⅰ)易知方程有唯一的实数解，且该解为
∴
，将之代入
∴
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