Question

校园内设计修建一个矩形花坛ABCD，并在花坛内装两个相同的喷水器M、N（如图），已知喷水器的喷水区域是半径为5米的圆，问如何设计花坛的长（x）和宽（y）的尺寸及两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且全部喷到水？

Answer 1

分析：依题意，如图可知(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，即(

x

2

)2+y2=100，又x，y＞0，s=xy=2•

x

2

•y，由基本不等式即可求得花坛面积的最大值及此时长（x）和宽（y）的尺寸，喷水器的位置也可由此判断出．

解答：解：依题意，由图可知(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，即(

x

2

)2+y2=100
又x，y＞0，s=xy=2•

x

2

•y≤(

x

2

)2+y2=100
当且仅当

x

2

=y即x=10

2

，y=5

2

时等号成立，
所以花坛的长为10

2

米，宽为5

2

米，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，就能使花坛的面积最大且能全部喷到水．

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解题的关键是理解题意，得出要求最值的函数解析式及定值有关的等式，再根据基本不等式求出符合条件的最值，解决实际问题，本题的难点是对求最值的函数进行恒等变形，整理成可以利用基本不等式的形式．基本不等式在最值问题中的应用很广泛，要注意总结它的使用规律，基本不等式在高考中出现的频率也很高，是高考命题者比较偏爱的知识点，要好好掌握