Question

如果方程x²-2x-1=0的一个零点在区间(

n

4

，

n+1

4

) (n∈N)内，则n=

9

．

Answer 1

分析：令f（x）=x²-2x-1，则由题意可得f（

n

4

） f（

n+1

4

）＜0，即 （

n2

16

-

n

2

-1）（

(n+1)2

16

-

n+1

2

-1 ）＜0，即[n-（4-4

2

）][n-（4+4

2

）][n-（3-4

2

）][n-（3+4

2

）]＜0，
再由n为正整数求出n的值．

解答：解：令f（x）=x²-2x-1，则由题意可得f（

n

4

） f（

n+1

4

）＜0，即 （

n2

16

-

n

2

-1）（

(n+1)2

16

-

n+1

2

-1 ）＜0．
即[n-（4-4

2

）][n-（4+4

2

）][n-（3-4

2

）][n-（3+4

2

）]＜0．
解得4-4

2

＜n＜3-4

2

，或者 3+4

2

＜n＜4+4

2

．
由于n为正整数，故 3+4

2

＜n＜4+4

2

，故n=9．
故答案为 9．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，得到f（

n

4

） f（

n+1

4

）＜0，是解题的关键，属于基础题．