Question

21.若函数f（x）=x³－ax²+（a－1）x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.

　

Answer 1

21.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

　解：函数f（x）的导数f′（x）=x²－ax+a－1.

令f′（x）=0,解得x=1或x=a－1.

当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1,+∞）上为增函数，不合题意.

当a－1>1,即a>2时，函数f（x）在（－∞,1）上为增函数，在（1,a－1）内为减函数，在（a－1,+∞）上为增函数.

依题意应有

当x∈（1,4）时，f′（x）<0,

当x∈（6,+∞）时，f′（x）>0.

所以4≤a－1≤6,解得5≤a≤7.

所以a的取值范围是［5,7］.