Question

16．已知函数f（x）与g（x）定义在R上，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且有 f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，求f（x），g（x）．

Answer 1

分析 由条件根据f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$ ①，可得-f（x）+g（x）=-$\frac{1}{x+1}$ ②，解由①②构成的方程组，求得f（x）和g（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且有 f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$ ①，
可得f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$，即-f（x）+g（x）=-$\frac{1}{x+1}$ ②．
由①②求得 f（x）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x+1}$]=$\frac{x}{（x+1）（x-1）}$，g（x）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$]=$\frac{1}{（x+1）（x-1）}$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用，体现了解方程组的思想，属于中档题．