Question

抛物线y=x²+4x上一点P处的切线的倾斜角为45°，切线与x，y轴的交点分别是A，B，则△AOB的面积为

 

．

Answer 1

分析：由题意和导数的几何意义求出点P的坐标，再求出切线方程，然后求出A、B两点的坐标，进而可求长度及直线AB的方程，再求原点到AB得距离即为三角形边AB上的高，再代入三角形的面积公式求解．

解答：解：设点P的坐标为（x，y），
由题意，y'=2x+4且过P点的切线的斜率k=tan45°=1，
∴由导数的几何意义得，1=2x+4，x=-

3

2

；代入y=x²+4x解得，y=-

15

4

，
∴P的坐标为（-

3

2

，-

15

4

），
∴过P点的切线的方程为y+

15

4

=x+

3

2

，即x-y-

3

2

=0，
令y=0，x=

3

2

，令x=0，y=-

3

2

；∴A（

3

2

，0），B（0，-

3

2

）
∴|AB|=

( 3 2 -0)2+(0+ 3 2 )2

=

3 2

2

，直线AB的方程为x-y-

3

2

=0；
∴点O（0，0）到直线AB的方程得距d=

|- 3 2 |

1+1

=

3 2

4

，
∴△AOB的面积S=

1

2

×|AB|×d=

9

8

．故答案为：

9

8

．

点评：本题考查了根据导数的几何意义如何求切点和切线方程，还有直线方程及三角形的面积求法，是一道好题．