Question

【题目】如图，已知长方形中， ， 为的中点，将沿折起，使得平面平面，设点是线段上的一动点（不与， 重合）．

（Ⅰ）当时，求三棱锥的体积；

（Ⅱ）求证： 不可能与垂直．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由于折叠时有平面平面，因此取中点，则有，从而有平面，因此是三棱锥的高，求出高和底面积可得体积；

（Ⅱ）假设能与垂直，由已知又可得，从而平面，因此有，从而有平面，因此，这是不可能的，结论得出．

试题解析：

（Ⅰ）取的中点，连接．

∵，∴，又为的中点，

∴，

∵平面平面，又平面， 平面，

∴平面．

∵，∴，

又，

∴．

（Ⅱ）假设．

由（Ⅰ）可知， 平面，∴．

在长方形中， ，

∴、都是等腰直角三角形，∴．　

而、平面， ，

∴平面．

而平面，

∴．

由假设， 、平面， ，

∴平面，

而平面，∴，

这与已知是长方形矛盾，

所以， 不可能与垂直．