Question

【题目】某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似。

（1）已知椭圆，写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；

（2）从外层椭圆顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为+=1 (ab0)，AC与BD的斜率之积为－，求椭圆的离心率。

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：

（1）由两点、关于直线对称可设出直线的方程为，将此方程与椭圆方程联立消去y可得，由题意此方程有两个不等实根，再根据的中点在直线上可消去t，根据判别式可得的范围；

（2）设外层的椭圆的方程为，切线的方程为，由直线与椭圆相切根据判别式为零可得，同理切线BD的斜率，故，结合条件可得，根据此结论可求得。

试题解析：

（1）椭圆的方程为：

设直线的方程为，

由消去y整理得

设点， 中点为，

则

所以

因为中点在直线上，

所以，

解得

所以直线的方程为，

由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，

即方程有两个不同的实数解，

所以，

解得或（舍去）。

所以实数的取值范围为。

（2）设外层的椭圆的方程为，

设切线的方程为,

由消去y整理得

∵直线与椭圆相切，

∴，

整理得,

同理

∴，∴，

由题意得

∴，∴。

即椭圆的离心率为。