题目内容

椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=
3
(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于______．
如图所示，

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由直线y=
3
(x+c)可知倾斜角α与斜率
3
有关系
3
=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．
设|MF2|=m，|MF1|=n，则
m2+n2=(2c)2
m+n=2a
m=
3
n
，解得
c
a
=
3
-1．
∴该椭圆的离心率e=
3
-1．
故答案为
3
-1．
练习册系列答案
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精英家教网直线l：y=k（x-1）过已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1经过点（0，
3
），离心率为
1
2
，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且
MA
=λ
AF
，
MB
=μ
BF
，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．
已知直线l：y=x+k经过椭圆C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1，(a＞1)的右焦点F2，且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，试求椭圆C的方程．
（2013•临沂一模）如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点为A、B，离心率为
3
2
，直线x-y+l=0经过椭圆C的上顶点，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=-
10
3
分别交于M，N两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点P，使得△PAS的面积为l？若存在，确定点P的个数；若不存在，请说明理由．
若椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2
5
，且过点（-3，2），⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为（x-8）2+（y-6）2=4，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．
已知圆．C1：x2+y2=
4
5
，直线l：y=x+m（m＞0）与圆C1相切，且交椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)于A1，B1两点，c是椭圆C2的半焦距，c=
3
b．
（l）求m的值；
（2）O为坐标原点，若
OA1
⊥
OB1
，求椭圆的方程；
（3）在（Ⅱ）的条件下，设椭圆C2的左、右顶点分别为A，B，动点S（x1，y1）∈C2（y1＞0）直线AS，BS与直线x=
34
15
分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

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