题目内容

已知直线l:y=x+k经过椭圆C:
x2
a2
+
y2
a2-1
=1,(a>1)
的右焦点F2,且与椭圆C交于A、B两点,若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1,试求椭圆C的方程.
分析:由题意知椭圆焦距c=1,F2(1,0),代入y=x+k,得k=-1,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用垂直关系即可求得a值,由此能求出椭圆方程.
解答:解:设椭圆焦距为2c,则c=
a2-(a2-1)
=1
…(1分)
∴F2(1,0),代入y=x+k  得k=-1
将y=x-1代入椭圆方程整理得:(2a2-1)x2-2a2x+2a2-a4=0…(4分)
∵A、B点在直线l上,设A(x1,x1-1),B(x2,x2-1)
∵AF1⊥BF1  又F1(-1,0)
x1-1
x1+1
x2-1
x2+1
=-1,即x1x2=-1
…(8分)  
由韦达定理,
2a2-a4
2a2-1
=-1

解得a2=2+
3
a2=2-
3
(∵a>1舍)
…(10分)
a2-1=2+
3
-1=1+
3

x2
2+
3
+
y2
1+
3
=1
为所求方程.…(14分)
点评:本题考查椭圆方程的求法,考要直线和椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意韦达定理、直线垂直等知识点的合理运用.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网