题目内容
已知直线l：y=x+k经过椭圆C：
+
=1，(a＞1)的右焦点F2，且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，试求椭圆C的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| a2-1 |
分析：由题意知椭圆焦距c=1，F2（1，0），代入y=x+k，得k=-1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用垂直关系即可求得a值，由此能求出椭圆方程．
解答：解：设椭圆焦距为2c，则c=
=1…（1分）
∴F2（1，0），代入y=x+k 得k=-1
将y=x-1代入椭圆方程整理得：（2a2-1）x2-2a2x+2a2-a4=0…（4分）
∵A、B点在直线l上，设A（x1，x1-1），B（x2，x2-1）
∵AF1⊥BF1 又F1（-1，0）
∴
•
=-1，即x1x2=-1…（8分）
由韦达定理，
=-1
解得a2=2+
或a2=2-
(∵a＞1舍)…（10分）
∴a2-1=2+
-1=1+
∴
+
=1为所求方程．…（14分）
| a2-(a2-1) |
∴F2（1，0），代入y=x+k 得k=-1
将y=x-1代入椭圆方程整理得：（2a2-1）x2-2a2x+2a2-a4=0…（4分）
∵A、B点在直线l上，设A（x1，x1-1），B（x2，x2-1）
∵AF1⊥BF1 又F1（-1，0）
∴
| x1-1 |
| x1+1 |
| x2-1 |
| x2+1 |
由韦达定理，
| 2a2-a4 |
| 2a2-1 |
解得a2=2+
| 3 |
| 3 |
∴a2-1=2+
| 3 |
| 3 |
∴
| x2 | ||
2+
|
| y2 | ||
1+
|
点评：本题考查椭圆方程的求法，考要直线和椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、直线垂直等知识点的合理运用．
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