题目内容
已知直线l:y=x+k经过椭圆C:
+
=1,(a>1)的右焦点F2,且与椭圆C交于A、B两点,若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1,试求椭圆C的方程.
x2 |
a2 |
y2 |
a2-1 |
分析:由题意知椭圆焦距c=1,F2(1,0),代入y=x+k,得k=-1,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用垂直关系即可求得a值,由此能求出椭圆方程.
解答:解:设椭圆焦距为2c,则c=
=1…(1分)
∴F2(1,0),代入y=x+k 得k=-1
将y=x-1代入椭圆方程整理得:(2a2-1)x2-2a2x+2a2-a4=0…(4分)
∵A、B点在直线l上,设A(x1,x1-1),B(x2,x2-1)
∵AF1⊥BF1 又F1(-1,0)
∴
•
=-1,即x1x2=-1…(8分)
由韦达定理,
=-1
解得a2=2+
或a2=2-
(∵a>1舍)…(10分)
∴a2-1=2+
-1=1+
∴
+
=1为所求方程.…(14分)
a2-(a2-1) |
∴F2(1,0),代入y=x+k 得k=-1
将y=x-1代入椭圆方程整理得:(2a2-1)x2-2a2x+2a2-a4=0…(4分)
∵A、B点在直线l上,设A(x1,x1-1),B(x2,x2-1)
∵AF1⊥BF1 又F1(-1,0)
∴
x1-1 |
x1+1 |
x2-1 |
x2+1 |
由韦达定理,
2a2-a4 |
2a2-1 |
解得a2=2+
3 |
3 |
∴a2-1=2+
3 |
3 |
∴
x2 | ||
2+
|
y2 | ||
1+
|
点评:本题考查椭圆方程的求法,考要直线和椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意韦达定理、直线垂直等知识点的合理运用.

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