Question

直线l：y=k（x-1）过已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1经过点（0，

3

），离心率为

1

2

，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，因为a²=b²+c²a²=4，c²=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-1），设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值-

8

3

．
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N(

5

2

，0)，猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N(

5

2

，0)．
证明：由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知D（4，y₁），E（4，y₂）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N(

5

2

，0)，再证点N(

5

2

，0)也在直线l_BD上；所以当m变化时，AE与BD相交于定点(

5

2

，0)．

解答：解：（Ⅰ）由题设知b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，因为a²=b²+c²a²=4，c²=1，∴椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1（3分）
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-k），设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

（6分）
又由

MA

=λ

AF

，
∴（x₁，y₁）=λ（1-x₁，-y₁），
∴λ=

x1

1-x1

，同理∴μ=

x2

1-x2

（8分）
∴λ+μ=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

x1+x2-2x1•x2

1-(x1+x2)+x1•x2

=-

8

3

所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值-

8

3

；（10分）
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N(

5

2

，0)，
猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N(

5

2

，0)（11分）
证明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N(

5

2

，0)，∵lAE：y-y2=

y2-y1

4-x1

•(x-4)
当x=

5

2

时，y=y2+

y2-y1

4-x1

•(-

3

2

)=

2(4-x1)•y2-3(y2-y1)

2(4-x1)

=

2(4-x1)•k(x2-1)-3k(x2-x1)

2(4-x1)

=

2(4-x1)•k(x2-1)-3k(x2-x1)

2(4-x1)

=

-8k-2kx2x1+5k(x2+x1)

2(4-x1)

=0∴点N(

5

2

，0)在直线l_AE上，同理可证，点N(

5

2

，0)也在直线l_BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点(

5

2

，0)

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化．