Question

已知0＜α-β＜

π

2

，

π

2

＜α+2β＜

3π

2

，求α+β的取值范围．

Answer 1

分析：由已知，知0＜α-β＜

π

2

，及 

π

2

＜α+2β＜

3π

2

，用已知的α+2β，α-β的范围整体表示所求的α+β的范围．

解答：解：设α+β=A（α-β）+B（α+2β）
=（A+B）α+（2B-A）β．
∴

A+B=1 2B-A=1

∴

B= 2 3 A= 1 3

∴α+β=

1

3

（α-β）+

2

3

（α+2β）．
∵α-β∈（0，

π

2

），
∴

1

3

（α-β）∈（0，

π

6

）．
∵α+2β∈（

π

2

，

3π

2

），
∴

2

3

（α+2β）∈（

π

3

，π）．
∴α+β∈（

π

3

，

7π

6

）．
∴α+β的取值范围是：（

π

3

，

7π

6

）．

点评：此题重点考查了不等式的性质，及不等式求解时应准确应用不等式的充分性．