Question

已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点,分别为A₁、B₁和A₂、B₂.

(Ⅰ)求l₁的斜率k₁的取值范围;

(Ⅱ)若A₁恰是双曲线的一个顶点,求│A₂B₂│的值.

Answer 1

解（Ⅰ）依照设，得斜率都存在，因为过点

且与双曲线有两个交点,故方程组

              ①

有两个不同的解，在方程组①中消去整理得

   ②

若方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。故

即方程②的判别式为

设的斜率为因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组

       ③

有两个不同的解,在方程组③中消去y,  整理得

同理有④

又因为l₁⊥l₂,所以有k₁?k₂=-1于是,l₁、l₂与双曲线各有两个交点,等价于

解得

∴

(Ⅱ)双曲线y²-x²=1的顶点为(0,1)、(0,-1).取A₁(0,1)时,有

解得从而

将代人方程④得

记l₂与双曲线的两交点为A₂(x₁,y₁)、B₂(x₂,y₂),则

│A₂B₂│²  =(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=3(x₁-x₂)²=3[(x₁+x₂)²-4x₁x₂].

由知

∴

即

当取A₁(0,-1)时,由双曲线y²-x²=1关于x轴的对称性,知

所以L1过双曲线的一个顶点时，