Question

已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各两个交点，分别为和．

（1）求的斜率的取值范围；     （2）若，求的方程．

Answer 1

（1）  

（2）时，：：；

时，：：

解析:

（1）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两具交点，故方程组

                  ①

       有两组不同实根，在方程①中消去，整理得

                        ②

       若，则方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾．故即．方程②的判别式为

              ．

       设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组

      ③

有两个不同的解．在方程组③中消去，整理得

                 ④

类似前面的讨论，有．

因为，所以，于是，与双曲线各有两个交点，等价于下列混合组成立

，解得．

故．

（2）设，则（1）的解答中方程②知

      

所以

              　              ⑤

同理可得              ⑥

由，得．

将⑤，⑥代入上式得，

解得       ．

取时，：：；

即时，：：．