Question

已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.

（1）求抛物线方程；
（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.

Answer 1

抛物线方程为y²= 4x.   时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；
当时，直线AK与圆M相交.

（1）抛物线
∴抛物线方程为y²= 4x.
（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），∴
则FA的方程为y=（x－1），MN的方程为
解方程组
（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2.
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，
当m≠4时，直线AK的方程为 即为
圆心M（0，2）到直线AK的距离，令
时，直线AK与圆M相离；
当m=1时，直线AK与圆M相切；
当时，直线AK与圆M相交.