Question

15．设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）．
（1）分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？
（2）分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？
（3）平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？
（4）分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？
（5）分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？
（6）分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？
（7）平均分成3份，共有多少种不同的分法？
（8）分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？

Answer 1

分析 利用组合知识，搞清无序不均匀分组问题、有序不均匀分组问题、无序均匀分组问题，即可得出结论．

解答 解：（1）甲得96本，有方法C₉₉⁹⁶种；乙得2本，有方法C₃²种；丙得1本．有方法1种，
不同的分法共有C₉₉⁹⁶C₃²（种）；
（2）与（1）类似，不同的分法共有C₉₃⁹³C₆³C₃³（种）；
（3）不同的分法共有C₉₉³³C₆₆³³C₃₃³³种；
（4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；
再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，
不同的分法共有（C₉₉⁹⁶C₃²）A₃³（种）；   
（5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有（C₉₉⁹³C₆³C₃³）A₃³（种）．
（6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，不同的分法共有C₉₉⁹⁶C₃²（种）；
（7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本．本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，不同的分法共有（C₉₉³³C₆₆³³C₃₃³³）÷A₃³（种）；    
（8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有C₉₉⁹³（C₆³C₃³）÷A₂²（种）．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，正确区分无序不均匀分组问题．有序不均匀分组问题．无序均匀分组问题．是解好组合问题的一部分；本题考查计算能力，理解能力．