题目内容
如图，G为△ABC的重心，AD为BC边上的中线．过G的直线MN分别交边AB，AC于M，N两点．设
，
，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式及其定义域；
（2）设g（x）=x3+3a2x+2a（x∈[0，1]）．若对任意的
，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
，，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式及其定义域；
（2）设g（x）=x3+3a2x+2a（x∈[0，1]）．若对任意的
，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
解：（1）因为
又
，
所以
又M，G，N三点共线，所以
=3
解之得：
（2）设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，则A
B，
因为
，在
上单调递减，
所以
因为g（x）=x3+3a2x+2a（x∈[0，1]），
所以g'（x）=3x2+3a2≥0恒成立，所以g（x）在[0，1]上单调递增，
所以B=[2a，3a2+2a+1]，
从而
解得：
或0
所以a的取值范围是
又
，所以
又M，G，N三点共线，所以
=3解之得：
（2）设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，则A
B，因为
，在上单调递减，所以
因为g（x）=x3+3a2x+2a（x∈[0，1]），
所以g'（x）=3x2+3a2≥0恒成立，所以g（x）在[0，1]上单调递增，
所以B=[2a，3a2+2a+1]，
从而
解得：
或0所以a的取值范围是
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如图，G为△ABC的重心，AD为BC边上的中线．过G的直线MN分别交边AB，AC于M，N两点．设
选修4--1：几何证明选讲
，
，记y=f（x）．
，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
，
，记y=f（x）．
，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．