Question

如图，G为△ABC的重心，AD为BC边上的中线．过G的直线MN分别交边AB，AC于M，N两点．设

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式及其定义域；
（2）设g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]）．若对任意的x1∈[

1

2

，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）结合图象，利用

AG

=

2

3

AD

=

1

3

(

AB

+

AC

)，通过

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，说明M，G，N三点共线，求出函数的解析式以及定义域．
（2）设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，则A⊆B，通过函数的解析式求出A，通过函数g（x）的导数，推出g（x）在[0，1]上单调递增，求出B的范围，通过

2a≤ 1 2 3a2+2a+1≥1

，求出a的取值范围．

解答：解：（1）因为

AG

=

2

3

AD

=

1

3

(

AB

+

AC

)…（2分）
又

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，所以

AG

=

1

3

(

1

x

AM

+

1

y

AN

)…（4分）
又M，G，N三点共线，所以

1

x

+

1

y

=3…（6分）
解之得：y=

x

3x-1

，x∈[

1

2

，1]…（8分）
（2）设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，则A⊆B，…（9分）
因为f(x)=

x

3x-1

=

1

3

(1+

1

3x-1

)，在x∈[

1

2

，1]上单调递减，所以A=[

1

2

，1]…（10分）
（或由x，y的地位均等、对称性可知）
因为g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]），所以g'（x）=3x²+3a²≥0恒成立，
所以g（x）在[0，1]上单调递增，…（12分）
所以B=[2a，3a²+2a+1]，…（13分）
从而

2a≤ 1 2 3a2+2a+1≥1

…（14分）
解得：a≤-

2

3

或0≤a≤

1

4

…（15分）
所以a的取值范围是(-∞，-

2

3

]∪[0，

1

4

]…（16分）

点评：本题考查向量在几何中的应用，函数恒成立问题的应用，考查转化思想，计算能力．