Question

如图，G为△ABC的重心，AD为BC边上的中线．过G的直线MN分别交边AB，AC于M，N两点．设，，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式及其定义域；
（2）设g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]）．若对任意的，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）结合图象，利用，通过，说明M，G，N三点共线，求出函数的解析式以及定义域．
（2）设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，则A⊆B，通过函数的解析式求出A，通过函数g（x）的导数，推出g（x）在[0，1]上单调递增，求出B的范围，通过，求出a的取值范围．
解答：解：（1）因为…（2分）
又，所以…（4分）
又M，G，N三点共线，所以=3…（6分）
解之得：…（8分）
（2）设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，则A⊆B，…（9分）
因为，在上单调递减，所以…（10分）
（或由x，y的地位均等、对称性可知）
因为g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]），所以g'（x）=3x²+3a²≥0恒成立，
所以g（x）在[0，1]上单调递增，…（12分）
所以B=[2a，3a²+2a+1]，…（13分）
从而…（14分）
解得：或0…（15分）
所以a的取值范围是…（16分）
点评：本题考查向量在几何中的应用，函数恒成立问题的应用，考查转化思想，计算能力．