Question

已知虚数z满足z+

9

z-2

∈R，则|z+4+8i|的取值范围是

[7，13]

．

Answer 1

分析：设z=x+yi，由题意可得（x-2）²+y²=9，而|z+4+8i|=

(x+4)2+(y+8)2

的几何意义是在圆（x-2）²+y²=9上任意取一点（x，y），到（-4，-8）的距离，结合圆的性质可求

解答：解：设z=x+yi（x，y∈R）
∵z+

9

z-2

∈R，
∴x+yi+

9

x-2+yi

=x+yi

9(x-2-yi)

(x-2)2+y2

由题意可得，y+

-9y

(x-2)2+y2

=0
∴（x-2）²+y²=9
∵|z+4+8i|=

(x+4)2+(y+8)2

的几何意义是在圆（x-2）²+y²=9上任意取一点（x，y），到（-4，-8）的距离d
∵（-4，-8）到圆心（2，0）的距离

(-4-2)2+(0-8)2

=10
∴10-r≤d≤r+10
即7≤d≤13
故答案为：[7，13]

点评：本题主要考查了复数的基本运算及复数的模的求解，解题的关键是灵活利用几何意义进行求解