Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为梯形，，点为的中点，且，点在上，且.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如图所示，取的中点，连结、，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取中点，中点，连结、，以N为原点，NA方向为x轴，NH方向为y轴，NP方向为z轴，建立空间坐标系，找到平面的一个法向量，求出直线向量所成夹角的余弦值，即可求直线与平面所成角的正弦值.

（1）如图所示，取的中点，连结、，

因为点为的中点，且，所以且，

因为，所以，所以，

又因为，所以，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，所以∥平面；

（2）取中点，中点，连结、，

因为，所以，

又平面平面，所以平面，

又，所以，

以N为原点，NA方向为x轴，NH方向为y轴，NP方向为z轴，建立空间坐标系，

所以，，，，

在平面中，，,

设在平面的法向量为，所以，，

令，则法向量，又，

设直线与平面所成角为，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为.