题目内容

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量 $数学公式$ ，平面向量 $数学公式$ ．
（I）如果 $数学公式$ ，求a的值；
（II）若 $数学公式$ ，请判断△ABC的形状．

解：（I）由余弦定理及已知条件得a²+b²-ab=4，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ab=4．
联立方程组得 $\text{[math]}$ ．
∴a=2．
（II）∵ $\text{[math]}$ ，∴sinC-sin2A+sin（B-A）=0．
化简得cosA（sinB-sinA）=0．
∴csoA=0或sinB-sinA=0．
当 $\text{[math]}$ ，
此时△ABC是直角三角形；
当sinB-sinA=0时，即sinB=sinA，
由正弦定理得b=a，
此时△ABC为等腰三角形．
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．
分析：（I）根据余弦定理以及c和C的值可求得a²+b²-ab=4，进而根据三角形面积公式求得ab的值，最后联立方程求得a．
（II）根据） $\text{[math]}$ 可推断出sinC-sin2Asin（B-A）=0．化简整理求得A为90°判断出三角形为直角三角形或A=B判断三角形为等腰三角形．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角形形状的判断，平面向量的性质等．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．