题目内容
一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖．（1）试用n表示一次取球中奖的概率p；
（2）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m，求m的最大值；
（3）在（Ⅱ）的条件下，当m取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4）），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号，求X的分布列、期望．
分析：（1）用古典概型求解即可．分母为从n+5任取两个，有Cn+52种方法，分子为两个球的颜色不同的方法有Cn1C51种；
（2）每次取球后全部放回，故为独立重复试验，按照独立重复试验的概率就解出概率，看作p的函数，利用导数求最值，并求出对应的n 即可；
（3）X的取值为0，1，2，3，4，利用古典概型分别求出概率，列出分布列，求期望即可．
（2）每次取球后全部放回，故为独立重复试验，按照独立重复试验的概率就解出概率，看作p的函数，利用导数求最值，并求出对应的n 即可；
（3）X的取值为0，1，2，3，4，利用古典概型分别求出概率，列出分布列，求期望即可．
解答：解：（1）每次从n+5任取两个，有Cn+52种方法．
它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有Cn1C51种，
一次取球中奖的概率为p=
=
．
（2）设每次取球中奖的概率为p次取球中恰有一次中奖的概率是：
m=P3（1）=C31•p•（1-p）2=3p3-6p2+3p（0＜p＜1
p数m'=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1）．
•因而m(0，
)上为增函数，m(
，1)上为减函数．
∴当p=
，即
=
，n=20，mmax=
（3）由（Ⅱ）知：红球共20个，则记上0的有10球，从中任取一球，有20法，它们是等可能的．故X的分布列是：
E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=
．
它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有Cn1C51种，
一次取球中奖的概率为p=
| ||||
|
| 10n |
| (n+5)(n+4) |
（2）设每次取球中奖的概率为p次取球中恰有一次中奖的概率是：
m=P3（1）=C31•p•（1-p）2=3p3-6p2+3p（0＜p＜1
p数m'=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1）．
•因而m(0，
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴当p=
| 1 |
| 3 |
| 10n |
| (n+5)(n+4) |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
（3）由（Ⅱ）知：红球共20个，则记上0的有10球，从中任取一球，有20法，它们是等可能的．故X的分布列是：
E(X)=0×| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查古典概型、独立重复试验的概率、利用导数求最值、离散型随机变量及分布列、期望等知识，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目