Question

（本小题满分12分）设函数，（其中为自然对数的底数，且），曲线在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）求导，从而可得，从而解得；

（2），则任意，与有且只有两个交点，等价于函数在有且只有两个零点，求导，从而分类讨论求的取值范围.

试题解析：（1）由，得， 1分

由题意得， 2分 ∵，∴； 3分

（2）令，则任意，与有且只有两个交点，等价于函数在有且只有两个零点，由，得， 5分

①当时，由得，由得，

此时在上单调递减，在上单调递增，∵，

，（或当时，亦可），∴要使得在上有且只有两个零点，则只需

，即， 7分

②当时，由得或，由得，此时在上单调递减，在和上单调递增. 此时，∴此时在至多只有一个零点，不合题意， 9分

③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，∴在至多只有一个零点，不合题意， 11分

综上所述，的取值范围为； 12分

考点：导数的运用.