Question

已知函数g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x．
（1）若m=-3，求函数g（x）的单调区间；
（2）若对于任意t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=-3时，g'（x）=3x²+x-2=（x+1）（3x-2），
由g'（x）=（x+1）（3x-2）＞0，得x＜-1，或x＞

2

3

；
由g'（x）=（x+1）（3x-2）＜0，得-1＜x＜

2

3

，
∴增区间：(-∞，-1)，(

2

3

，+∞)，减区间：（-1，

2

3

）
（2）g'（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2，对于任意t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
∴

3t2+(m+4)t-2＜0 27+(m+4)•3-2＞0

，
∴

m+4＜ 2 t -3t m＞- 37 3

，
解得-

37

3

＜m＜-9，
∴实数m的取值范围是{m|-

37

3

＜m＜-9}．