Question

已知函数f(x)=

x

，g（x）=x+a（a＞0）
（1）求a的值，使点M（f（x），g（x））到直线x+y-1=0的最短距离为

2

；
（2）若不等式|

f(x)-ag(x)

f(x)

|≤1在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先用点到直线的距离公式表示距离，利用换元法，进而利用二次函数的配方法即可求解；
（2）将绝对值符号化去，从而转化为

ax+a2

x

≤2在 [ 1 ， 4 ]上恒成立，进而利用换元法转化为at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立，从而得解．

解答：解：（1）由题意得M到直线的距离d=

| x +x+a-1|

2

，令t=

x

≥0
则d=

|t2+t+a-1|

2

=

|(t+ 1 2 )2+a- 5 4 |

2

∵t≥0∴a≥1时，

|(t+ 1 2 )2+a- 5 4 |

2

≥

a-1

2

即t=0时，dmin=

a-1

2

=

2

∴a=30＜a＜1时，d_min=0，不合题意
综上a=3（6分）
（2）由|

f(x)-ag(x)

f(x)

|≤1?-1≤

f(x)-ag(x)

f(x)

≤1?0≤

ag(x)

f(x)

≤2
即

ax+a2

x

≤2在 [ 1 ， 4 ]上恒成立
也就是ax+a2≤2

x

在[1，4]上恒成立
令

x

=t≥0，且x=t²，t∈[1，2]
由题意at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立
设?（t）=at²-2t+a²，则要使上述条件成立，只需

?(1)=a-2+a2≤0 ?(2)=a2+4a-4≤0

⇒0＜a≤2 (

2

-1)
即满足条件的a的取值范围是( 0 ， 2

2

-2 ]（13分）

点评：本题以函数为载体，考查点线距离，考查恒成立问题，关键是掌握距离公式，熟练恒成立问题的处理策略．