Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax2+bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；
（II）先设t=e^x，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；
（III）先假设存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．

解答：解：（I）依题意：h（x）=lnx+x²-bx．
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴h′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2x，∵x＞0，则

1

x

+2x≥2

2

．
∴b的取值范围是(-∞，2

2

]．
（II）设t=e^x，则函数化为y=t²+bt，t∈[1，2]．
∵y=(t+

b

2

)2-

b2

4

．
∴当-

b

2

≤1，即-2≤b≤2

2

时，函数y在[1，2]上为增函数，
当t=1时，y_min=b+1；当1＜-

b

2

＜2，即-4＜b＜-2时，当t=-

b

2

时，ymin=-

b2

4

；
当-

b

2

≥2，即b≤-4时，函数y在[1，2]上是减函数，
当t=2时，y_min=4+2b．
综上所述：φ(x)=

b+1 -2≤b≤2 2 - b2 4 -4＜b＜-2 4+2b b≤-4

（III）设点P、Q的坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂．
则点M、N的横坐标为x=

x1+x2

2

．
C₁在点M处的切线斜率为k1=

1

x

|x=

x1+x2

2

=

2

x1+x2

．
C₂在点N处的切线斜率为k2=ax+b|x=

x1+x2

2

=

a(x1+x2)

2

+b．
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂．
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b．则

2(x2-x1)

x1+x2

=

a( x 2 2 - x 2 1 )

2

+b(x2-x1)=(

a

2

x

2 2

+bx2)-(

a

2

x

2 1

+bx1)
=y2-y1=lnx2-lnx1=ln

x2

x1

，
∴ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

设u=

x2

x1

＞1，则lnu=

2(u-1)

1+u

，u＞1，（1）
令r(u)=lnu-

2(u-1)

1+u

，u＞1，则r′(u)=

1

u

-

4

(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

，
∵u＞1，∴r′（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，则lnu＞

2(u-1)

u+1

，与（1）矛盾！

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、两条直线平行的判定等基础知识，属于中档题．