Question

已知函数．
（1）求f^-1（x）的表达式；
（2）判断f^-1（x）的单调性；
（3）若对于区间上的每一个x的值，不等式恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数解x，交换x、y的位置，求出f^-1（x）的表达式；
（2）根据互为反函数的函数单调性相同，求f^-1（x）的单调性转化为求函数f（x）的单调性；
（3）把f^-1（x）的表达式代入不等式中，整理转化为关于的不等式恒成立，借助于一次函数的图象可得关于m的不等式组，求得m的取值范围．
解答：解：（1）由，得，
即，于是．
又x＞1时，∈（0，1），所以∈（0，1）．

．
（2）由于=1-是（1，+∞）上的增函数，且＞0，
∴f（x）是（1，+∞）上的增函数，
从而f^-1（x）是（0，1）上的增函数；
（3）（1-）f^-1（x）＞m（m-），亦即在区间上恒成立，
∴解得．
点评：考查求反函数的方法，体现解方程的思想方法，注意互为反函数的定义域和值域及单调性之间的关系；不等式恒成立的问题转化为函数的最值问题，体现了转化的思想方法，求函数的最值体现了数形结合的思想，属难题．