Question

（本小题满分14分）

已知函数，R .

（1）讨论函数的单调性;

（2）若函数有两个极值点,, 且, 求的取值范围;

（3）在（2）的条件下, 证明:.

Answer 1

（1）当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增；当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增；当时, 函数在上单调递增.（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求函数的定义域，再对函数求导，进而令导函数为零，得到方程，对方程是否有实数根进行讨论，即可得函数的单调性；（2）将函数有两个极值点,转化为方程在有两不等实根，结合（1），即可得的取值范围；（3）先将化简，再令, ，进而可证，即可得.

试题解析：(1)解: 函数的定义域为,

, 1分

令, 得, 其判别式,

① 当,即时, ,, 此时,在上单调递增;

2分

② 当, 即时, 方程的两根为,,

3分

若, 则, 则时, , 时, ,

此时, 在上单调递减, 在上单调递增; 4分

若,则, 则时, ,时, ,

时, ,

此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. 5分

综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;

当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;

当时, 函数在上单调递增. 6分

(2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,,等价于方程在有

两不等实根, 故. 7分

(3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, . 8分

, 9分

令, ,

则, 10分

由于, 则, 故在上单调递减. 11分

故. 12分

∴. 13分

∴. 14分

考点：1、用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式.