Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝．

(1)．求证：AO⊥平面BCD；

(2)．求异面直线AB与CD所成角余弦的大小；

(3)．求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

方法一： 　　(1)．证明：连结OC 　　　　　1分 　　，．　　　　2分 　　在中，由已知可得　　　3分 　　而，　　　　　　4分 　　即　　　　5分 　　 　　∴平面．　　　　　　6分 　　(2)． 　　解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知， 　　∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，　　　　　　8分 　　在中， 　　是直角斜边AC上的中线，∴　　　　　　9分 　　∴，　　　　　　　　　　10分 　　∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为．　　　　　　　　　　11分 　　(3)．解：设点E到平面ACD的距离为． 　　，　　　　　　　　　12分 　　在中，， 　　，而，． 　　∴， 　　∴点E到平面ACD的距离为　　　　　　　　　　　14分 　　方法二：(1)．同方法一． 　　(2)． 　　解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 　　 　　，　　　　　9分 　　∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为．　　　　10分 　　(3)．解：设平面ACD的法向量为则 　　， 　　∴，令得是平面ACD的一个法向量． 　　又 　　∴点E到平面ACD的距离．　　　　　　　　14分