题目内容

如图，四棱锥的底面是正方形，平面，为上的点，且.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
（1）详见解析；（2）二面角的余弦值为.

试题分析：（1）要证，先证平面，则要证明垂直于平面内的两条相交直线，先由正方形的对角线互相垂直得到，再由平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，从而得到；（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.
试题解析：（1）∵平面，∴，
∵底面是正方形，∴，∴平面，
∵平面，∴.
（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系．
设，则，，因为，
易知，，,，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，得，同理可取平面的法向量，
所以，所以二面角的余弦值为.
练习册系列答案
相关题目
在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.

(1)求证:B1C∥平面A1BD；
(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.
如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.

(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
斜三棱柱，其中向量,三个向量之间的夹角均为，点分别在上且，=4，如图

（Ⅰ）把向量用向量表示出来，并求；
（Ⅱ）把向量用表示；
（Ⅲ）求与所成角的余弦值.
在四面体O-ABC中，点P为棱BC的中点．设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，那么向量
AP
用基底{
a
，
b
，
c
}可表示为（　　）
A．-
1
2
a+
1
2
b+
1
2
c		B．-a+
1
2
b+
1
2
c
C．a+
1
2
b+
1
2
c		D．
1
2
a+
1
2
b+
1
2
c
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是    (　　)．
A．　　B．C．　　D．
如图，正方体的棱长为，、分别是、的中点．

⑴求多面体的体积；
⑵求与平面所成角的余弦值．
如图3所示，，M是棱的中点，N是棱的中点．
(1)求异面直线所成角的正弦值；
(2)求的体积．
.如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于
A．B．
C．D．

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