题目内容

设xi，yi （i=1，2，…，n）是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列．求证：（xi-yi）2≥（xi-zi）2．
【答案】分析：寻找使 （xi-yi）2≥（xi-zi）2 成立的充分条件为  ≤ ①．而由排序不等式可得①成立，从而得到要证的不等式成立．
解答：证明：要证 （xi-yi）2≥（xi-zi）2 ，只需证 -2≥-2，
由于=，故只需证 ≤ ①．
而①的左边为乱序和，右边为顺序和，根据排序不等式可得①成立，
故要证的不等式成立．
点评：本题主要考查用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分
∫
1
0
f(x)dx，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分
∫
1
0
f(x)dx的近似值为
 
．
设xi，yi （i=1，2，…，n）是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列．求证：
n
i-1
（xi-yi）2≥
n
i-1
（xi-zi）2．

给出下列四个命题：

①设x1，x2∈R，则x1＞1且x2＞1的充要条件是x1＋x2＞2且x1x2＞1；

②已知＝(1，－2)，＝(x，y)，若x，y∈[1，6]，则满足的概率为；

③命题“x∈R，x2≥0”的否定是“x∈R，x2≤0”；

④已知n个散点Ai(xi，yi)，(i＝1，2，3，…，n)的线性回归方程为＝bx＋a，若a＝－，(其中，)，则此回归直线必经过点()．则正确命题序号为________．
设xi，yi （i=1，2，…，n）是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列．求证：
n




i-1
（xi-yi）2≥
n




i-1
（xi-zi）2．

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