Question

设x_i，y_i （i=1，2，…，n）是实数，且x₁≥x₂≥…≥x_n，y₁≥y₂≥…≥y_n，而z₁，z₂，…，z_n是y₁，y₂，…，y_n的一个排列．求证：

n

i-1

（x_i-y_i）²≥

n

i-1

（x_i-z_i）²．

Answer 1

分析：寻找使 

n

i-1

（x_i-y_i）²≥

n

i-1

（x_i-z_i）² 成立的充分条件为 

n

i=1

 xi•zi≤

n

i=1

 xi•yi ①．而由排序不等式可得①成立，从而得到要证的不等式成立．

解答：证明：要证

n

i-1

（x_i-y_i）²≥

n

i-1

（x_i-z_i）² ，只需证 

n

i=1

 yi2-2

n

i=1

 xi•yi≥

n

i=1

 zi2-2

n

i=1

 xi•zi，
由于

n

i=1

 yi2=

n

i=1

 zi2，故只需证

n

i=1

 xi•zi≤

n

i=1

 xi•yi ①．
而①的左边为乱序和，右边为顺序和，根据排序不等式可得①成立，
故要证的不等式成立．

点评：本题主要考查用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．