Question

若动点（x，y）在曲线

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）上变化，则x²+2y的最大值为

b2

4

+4或2b

．

Answer 1

分析：用三角换元x=2cosθ，y=bsinθ，将其代入x²+2y得x²+2y=-4(sinθ-

b

4

)2+

b2

4

+4，再根据b的取值范围进行讨论，结合二次函数的图象与性质，即可得到x²+2y的最大值．

解答：解：由题意，可令x=2cosθ，y=bsinθ，则
x²+2y=4cos²θ+2bsinθ=-4sin²θ+2bsinθ+4=-4(sinθ-

b

4

)2+

b2

4

+4，
∵b＞0，∴

b

4

＞0
①当

b

4

∈（0，1]时，即0＜b≤4时，当sinθ=

b

4

时，x²+2y取得最大值

b2

4

+4，
②当

b

4

∈（1，+∞）时，即b＞4时，当sinθ=1时，x²+2y取得最大值2b
故答案为：

b2

4

+4或2b

点评：本题给出曲线

x2

4

+

y2

b2

=1上的动点（x，y），求x²+2y的得最大值．着重考查了三角换元法解决二次曲线问题和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．