Question

设f(x)=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3，
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（II）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（III）当a≥1时，证明对于任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

Answer 1

分析：（I）当a=2时，f（x）=

2

x

+xlnx，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．
（II）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，利用导数求出函数g（x）的最大值和最小值，然后求出g（x）_max-g（x）_min，从而求出满足条件的最大整数M；
（III）先求出在区间[

1

2

，2]上，g（x）的最大值，然后求出h（x）的最小值，从而证明出在区间[

1

2

，2]上f（x）≥g（x）恒成立，从而得到结论．

解答：解：（I）当a=2时，f（x）=

2

x

+xlnx，f'（x）=-

2

x2

+lnx+1，
∴f（1）=2，f'（1）=-1．
∴y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-x+3
（II）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立
g（x）=x³-x²-3，g'（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

）
当x∈（0，

2

3

）时，g'（x）＜0，当x∈（

2

3

，2）时，g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴满足条件的最大整数M=4
（III）证明：由（II）知，在区间[

1

2

，2]上，g（x）的最大值为g（2）=1
当a≥1时，且x∈[

1

2

，2]，f(x)=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx，
记h（x）=

1

x

+xlnx，h'（x）=-

1

x2

+lnx+1，h'（1）=0
当x∈[

1

2

，1），h'（x）＜0，当x∈（1，2]，h'（x）＞0
∴函数h（x）=

1

x

+xlnx在区间[

1

2

，1）上递减，在区间（1，2]上递增，
∴h（x）_min=h（1）=1，即h（x）≥1
即当a≥1时，且x∈[

1

2

，2]，f（x）≥1成立，
∴f（x）≥g（2）∴f（x）≥g（x）
即当a≥1时，证明对于任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题和利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了转化与化归的思想，属于中档题．