Question

已知椭圆的离心率为，长轴长为4，M为右顶点，过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线AB与x轴垂直时，求证：
（3）当直线AB的斜率为2时，（2）的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的基本量，得出a值，再结合离心率的公式得出c的值，最后得出b²==3，从而得出椭圆的标准方程；
（2）直线AB与x轴垂直，将x=1代入椭圆方程求出交点A、B的坐标，然后用向量共线的方法分别计算出P、Q两点的坐标，从而得出向量和的坐标，最后用数量积的坐标计算公式可证出；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），利用点斜式得出直线AB的方程为y=2（x-1），将其与椭圆方程联解消去y得关于x的方程，然后利用根与系数的关系，得出，再利用直线的斜截式方程得，最后利用三点共线得出y₃关于x₁，y₁的表达式和y₄关于x₂，y₂的表达式，将它们代入到向量和的坐标表达式中，化简可得：，结论仍然成立．
解答：解：（1）由题意有2a=4，a=2，，c=1，b²=3
∴椭圆的标准方程为 …（3分）
（2）直线AB与x轴垂直，则直线AB的方程是x=1
则A（1，）B（1，-），M（2，0）
AM、BM与x=1分别交于P、Q两点，A，M，P三点共线，
，共线             …（4分）
可求P（4，-3），∴，
同理：Q（4，3），
∴命题成立．                     …（5分）
（3）若直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y=2（x-1），
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
联立消y得 19x²-32x+4=0
∴
∴…（7分）
又∵A、M、P三点共线，
∴同理
∴，
∴
综上所述：，结论仍然成立…（10分）
点评：本题以圆锥曲线为载体，考查了直线的方程、直线与椭圆的位置关系和平面向量的数量积等知识点，属于难题．解题时应该注意设而不求与转化化归等思想的运用．