Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，点S在平面ABC上的射影恰为AC的中点，SA=2

3

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明AC丄SB；
（2）求直线CN与平面ABC所成角的余弦值；
（3）求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证AC⊥SB，取AC中点D，连接DS、DB．根据线面垂直的性质定理可知，只须证AC⊥SD且AC⊥DB，即得；
（2）欲求直线CN与平面ABC所成角的余弦值大小，可先作出直线CN与平面ABC所成角，结合SD⊥平面ABC．过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM，从而得出∠NCD为直线CN与平面ABC所成角．最后在Rt△NCD中求解即可；
（3）设点B到平面CMN的距离为h，利用等到体积法：V_B-SNM=V_S-NMB，即可求得点B到平面CMN的距离．

解答：证明：（Ⅰ）取AC中点D，连接SO．
∵SO⊥面ABC，
∴AC⊥SO，
∵△ABC是边长为4的正三角形，
∴AC⊥BO
∴AC⊥面SOB，∴AC⊥SB．

（Ⅱ）过N作ND∥SO交OB于D，则ND⊥面ABC，且D是OB的中点，
在Rt△NCD中，ND=

1

2

SO=

2

CD=

CO 2+OD 2

=

7

∴CN=3
∴cos∠NCD=

CD

CN

=

7

3

．
直线CN与平面ABC所成角的余弦值

7

3

．
（Ⅲ）解：在Rt△SDE中，SE=

SD2+DE2

=

5

，CM是边长为4正△ABC的中线，CM=2

3

．
∴S_△SCM=

1

2

CM•SE=

1

2

×2

3

×

5

=

15

，
设点B到平面SCM的距离为h，
由V_B-SCM=V_S-CMB，SD⊥平面ABC，得

1

3

S_△SCM•h=

1

3

S_△CMB•SD，
∴h=

S△CMB•SD

S△SCM

=

4 2

3

．即点B到平面SCM的距离为

4 2

3

．

点评：本小题主要考查直线与直线，直线与平面所成角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力．求距离的关键是构造三棱锥的体积求解．