Question

如图，圆锥的顶点是P，O是底面中心．已知PO=

2

，圆O的直径AB=2，点C在弧AB上，且∠CAB=30°．
（1）计算圆锥的侧面积；
（2）求O到平面APC的距离．

Answer 1

分析：（1）根据题意求出母线的长度，再利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长×

1

2

，即可求得圆锥的侧面积．
（2）利用V_P-AOC=V_O-PAC，即可求出O到平面APC的距离．

解答：解：（1）在Rt△POB中有PO=

2

，OB=1，
所以PB=

3

----2’
所以S侧=πrl′=π×1×

3

=

3

π，
所以圆锥的侧面积

3

π．
（2）因为圆O的直径为AB，点C在弧AB上，
所以在Rt△ABC中，AC⊥BC，
又因为AB=2，∠CAB=30°，
所以AC=

3

．
因为V_P-AOC=V_O-PAC，即

1

3

•S△AOC•PO=

1

3

•S△PAC•h，
所以

1

3

×(

1

2

×1×1×sin120°)×

2

=

1

3

×(

3

4

×

3

2)×h，
解得h=

2

3

，
所以O到平面APC的距离为

2

3

．

点评：本题只有考查圆锥侧面积的计算公式与三棱锥的体积公式，以及利用等体积的方法求点到平面的距离，解决此类问题的关键是熟练掌握有关的公式，此题属于中档题．