Question

20．已知函数$f（x）=2sin?xcos?x-2\sqrt{3}{cos^2}?x+\sqrt{3}（{?＞0}）$，若函数f（x）的图象与直线y=a（a为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的表达式及a的值；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x），求其单调增区间．

Answer 1

分析 （1）把式子化成一个三角函数的形式，即可求出最小正周期，利用周期公式可求ω，即可求得f（x）的表达式及a的值．
（2）再根据图象的平移可求出函数y=g（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质即可求出单调增区间．

解答 解：（1）由题意得$f（x）=2sinωxcosωx-2\sqrt{3}{cos^2}ωx+\sqrt{3}=2sin（{2ωx-\frac{π}{3}}）$，
∵函数f（x）的图象与直线y=a（a为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列，可知函数的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，
∴ω=1，∴$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，∴a=±2．
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到$y=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
再向上平移1个单位，得到$y=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+1$，即$g（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+1$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，整理得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
所以函数y=g（x）的单调增区间是$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]，k∈Z$．

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的图象与性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．