Question

棱长均为1三棱锥S-ABC，若空间一点P满足

SP

=x

SA

+y

SB

+z

SC

(x+y+z=1)，则|

SP

|的最小值为（　　）

• A、1
• B、

  6

  3

• C、

  3

  6

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：欲求|

SP

|的最小值，将其平方，先利用空间向量的数量积运算出|

SP

|与|

SP

|的数量积，再将题中条件：x+y+z=1代入运算，最后利用基本不等式即可求得最小值．

解答：解：∵满足

SP

=x

SA

+y

SB

+z

SC

(x+y+z=1)，
∴

SP

 2=(x

SA

+y

SB

+z

SC

) 2
=x²+y²+z²+2xy

SA

 •

SB

+2xz

SA

•

SC

+2yz

SC

•

SB

=x²+y²+z²+xy+xz+yz
∵x+y+z=1，
∴（x+y+z）²=1，
x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1，
又x²+y²+z²≥xy+xz+yz，
∴xy+xz+yz≤

1

3

∴x²+y²+z²+xy+xz+yz
=1-（xy+xz+yz）≥

2

3

则|

SP

|的最小值为

6

3

．
故选B

点评：本题主要考查了空间向量的数量积运算，以及基本不等式等知识，解答的关键是适当变形成可以利用基本不等式的形式．属于基础题．