Question

(理)已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍．记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；
(3)试问：是否存在一个定圆，与以动点为圆心，以为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）0；（3）存在，定圆的方程为：.

试题分析：（1）本题是求方程问题，由于没有告诉我们是什么曲线，因此我们可根据已知条件采取直接法求方程，由已知可得，然后化简即可；（2）这是直线与圆锥曲线相交问题，解题方法是设直线方程为（注意，知道为什么吗？），与曲线方程联立方程组，并消去得到关于的二次方程，如果设，则可得（用表示），而
变形后表示成的式子，再把刚才的表达式代入计算应该就能得到结论；（3）假设存在这个定圆与动圆内切，则圆心距为两圆半径之差，从而与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值（定圆的半径），由于点是椭圆的右焦点，这时联想椭圆的定义，若是椭圆的左焦点，则就有是常数，故定圆是以为圆心，4为半径的圆.
试题解析：(1)由题知，有.
化简，得曲线的方程：．
(2)∵直线的斜率为，且不过点，
∴可设直线：．
联立方程组得．
又交点为，
∴．
∴
(3)答：一定存在满足题意的定圆.
理由：∵动圆与定圆相内切，
∴两圆的圆心之间距离与其中一个圆的半径之和或差必为定值.
又恰好是曲线(椭圆)的右焦点，且是曲线上的动点，
记曲线的左焦点为，联想椭圆轨迹定义，有，
∴若定圆的圆心与点重合，定圆的半径为4时，则定圆满足题意.
∴定圆的方程为：.