Question

在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  6

  ]
• B、（0，

  1

  3

  ]
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、（0，1）

Answer 1

分析：在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，其体积的下界为0，要使三棱锥的体积最大，则这四个点一定得最在正方体的顶点处，分别讨论上下两个底面各取两个点和一个底面三个点，另一个底面一个点时，棱锥的体积，即可得到棱锥的最大值，进而得到答案．

解答：解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设三棱锥的底面为α．
在正方体的表面上，离三棱锥底面α最远的点，一定可以在正方体的顶点处取得．此时，三棱锥的体积最大．固定住这个点，以这个点为三棱锥底面的一个点，则三棱锥的顶点一定可以在正方体的顶点处取得，同理，三棱锥体积最大时，三个顶点必在正方体的顶点处取得．
故正方体8个顶点中四个顶点形成三棱锥的体积最大的那个即为所求．
由于三棱锥四个顶点不共面，故在面ABCD和面A₁B₁C₁D₁中，分别可能有三棱锥的（1，3），（2，2），（3，1）个顶点，其中（1，3）和（3，1）是对称的．
故只需讨论（3，1）和（2，2）的情形．
若为（3，1），在底面，不妨取A、B、D顶点可为A₁、B₁、C₁、D₁，三棱锥体积都为V=

1

3

•S△ABD•h=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

，

若为（2，2）
则在底面可取A、B或A、C．
若为A、B，顶面可取（A₁，C₁），（A₁，D₁），三棱锥体积V=

1

3

S•h=

1

6

．

若为A、C，则顶点可取B₁D₁此时
VD-ACD1=VD1-ACD∴

1

3

×

3

4

×

2

2•h=

1

3

×

1

2

×1×1×1∴h=

3

3

∴hB1-ACD1=B1D-h=

2 3

3

V=

1

3

S△ACD1•hB1-ACD1=

1

3

•

3

4

•(

2

)2

2 3

3

=

1

3

故选B．

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，根据正方体的结构特征得到三棱锥的体积最大时，这四个点一定得最在正方体的顶点处，进而简单分类讨论的种类是解答本题的关键．