Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-A₁C₁B的体积；
（Ⅲ）求异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连BD、B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，因BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁底面A₁B₁C₁D₁，则A₁C₁⊥BB₁，从而A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
则B₁D⊥A₁C₁，同理可证：B₁D⊥BC₁，且A₁C₁∩BC₁=C₁，满足线面垂直的判定定理，则B₁D⊥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）根据VB1-A1C1B=VB-A1B1C1=

1

3

S△A1B1C1?BB1进行求解即可；
（Ⅲ）AA₁∥BB₁，则异面直线BC₁与AA₁所成的角就是BC₁与BB₁所成的角，从而求得∠B₁BC₁．

解答：（Ⅰ）证明：如图，连BD、B₁D₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，（2分）
又∵BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁
底面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁C₁⊥BB₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，（4分）
∴B₁D⊥A₁C₁，同理可证：B₁D⊥BC₁，且A₁C₁∩BC₁=C₁，
故B₁D⊥平面A₁C₁B．（5分）
（Ⅱ）解：VB1-A1C1B=VB-A1B1C1=

1

3

S△A1B1C1?BB1
=

1

3

•

1

2

•1•1•1=

1

6

．（9分）
（Ⅲ）解：∵AA₁∥BB₁，
∴异面直线BC₁与AA₁所成的角就是BC₁与BB₁所成的角，即∠B₁BC₁=45°．（13分）
故异面直线BC₁与AA₁所成的角为45°．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，以及几何体的体积和异面直线所成角等有关知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．