Question

【题目】已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线，交的中垂线于点，记点的轨迹为.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若直线与圆相切于点，与曲线交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为或

【解析】

（Ⅰ）由已知可判断：点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，结合已知即可求得曲线的方程

（Ⅱ）设，，，联立直线与椭圆方程可得：，利用中点坐标公式即可求得：，利用点在圆上及列方程组可得：，解得：，，问题得解。

解：（Ⅰ）由已知可得，，

即点到定点的距离等于它到直线的距离，

故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

∴曲线的方程为.

（Ⅱ）设，，，

由，得，

∴，

∴，，即，

∵直线与圆相切于点，

∴，且，

从而，，

即：，

整理可得，即，

∴，

故直线的方程为或.