题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，以原点
为圆心，椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过定点
的直线
交椭圆于
两点，连接
并延长交于
，求证：
.
【答案】（1）
（2）证明过程详见解析
【解析】
（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；
（2）依题意可知直线
斜率存在，设方程为
，代入
整理得
，
与椭圆有两个交点，
.
设
，
，直线
，
的斜率分别为
，
，利用韦达定理证明
即可.
解：（1）依题意可设圆
方程为
，
圆与直线
相切，
.
，
由
解得
，
椭圆的方程为.
（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得
，
与椭圆有两个交点，，即
.
设，，直线，的斜率分别为，
则
，
.
，
即
.
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【题目】
是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于
微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准
，日均值在
微克/立方米以下，空气质量为一级；在微克应立方米
微克立方米之间，空气质量为二级：在
微克/立方米以上，空气质量为超标.从某市
年全年每天的监测数据中随机地抽取
天的数据作为样本，监测值频数如下表：
（微克/立方米） |
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频数（天） |
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（1）从这天的日均值监测数据中，随机抽出
天，求恰有
天空气质量达到一级的概率；
（2）从这天的数据中任取天数据，记
表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列.
