Question

8．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．
①设$B（{\sqrt{2}，1}）$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{6}$，求k的值；
②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求得交点A的坐标，①运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；
②由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由题设可知，圆O的方程为x²+y²=b²，
因为直线l：x-y+2=0与圆O相切，故有$\frac{|2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-1}）}^2}}}}=b$，
所以$b=\sqrt{2}$．                                                                
因为$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，所以有a²=3c²=3（a²-b²），即a²=3．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．                                             
（2）设点A（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），则y₀=kx₀．
由$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=k{x_0}\\ \frac{x_0^2}{3}+\frac{y_0^2}{2}=1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt{2+3{k^2}}}}\\{y_0}=\frac{{\sqrt{6}k}}{{\sqrt{2+3{k^2}}}}.\end{array}\right.$，
①∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{{\sqrt{2}×\sqrt{6}}}{{\sqrt{2+3{k^2}}}}+\frac{{\sqrt{6}k}}{{\sqrt{2+3{k^2}}}}=\sqrt{6}$，∴$k=\sqrt{2}$（k=0舍去）．             
②∵${S_{△AOD}}=\frac{1}{2}{x_0}×2{y_0}=kx_0^2=\frac{6k}{{2+3{k^2}}}=\frac{6}{{\frac{2}{k}+3k}}≤\frac{6}{{2\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
（当且仅当$k=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$时取等号），
∴S_△AOD的最大值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相切的条件：d=r，同时考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值的方法，属于中档题．