题目内容
19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点分别为F1，F2，M为圆x2+y2=$\frac{{a}^{2}}{4}$上的点，过左焦点F1与点M的直线交双曲线右支于点P，若M为线段PF1的中点，当△PF1F2为锐角三角形时，双曲线的离心率范围为$（\sqrt{2}，\frac{\sqrt{10}}{2}）$．分析 如图所示，M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，可得|PF2|=2|MO|=a，|PF1=|PF2|+2a=3a．当△PF1F2为锐角三角形时，∴只有可能∠PF2F1或∠F1PF2为最大角，因此必然为锐角．利用余弦定理即可得出．
解答 解：如图所示，
∵M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，
∴|PF2|=2|MO|=a，|PF1=|PF2|+2a=3a．
|F1F2|=2c．
∵当△PF1F2为锐角三角形时，∴只有可能∠PF2F1或∠F1PF2为最大角，因此必然为锐角．
∴（2c）2+a2＞（3a）2，且（3a）2+a2＞（2c）2，
可得c2＞2a2，且${c}^{2}＜\frac{5}{2}{a}^{2}$
解得$\sqrt{2}＜e＜\frac{\sqrt{10}}{2}$
故答案为：$（\sqrt{2}，\frac{\sqrt{10}}{2}）$．
点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、三角形中位线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{6}{11}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{2}{5}$ | D． | $\frac{7}{12}$ |
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| A． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ |
如图，∠ACB=90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD=AB=2，则三棱锥D-AEF体积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．