Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁•x₂•…•x_n的值为

 

．

Answer 1

分析：本题考查的主要知识点是导数的应用，由曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），求导后，不难得到曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线方程，及与x轴的交点的横坐标为x_n，分析其特点，易得x₁•x₂•…•x_n的值．

解答：解：对y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求导得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，
在点（1，1）处的切线方程为y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨设y=0，x_n=

n

n+1

则x₁•x₂•…•x_n=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n-1

n

×

n

n+1

=

1

n+1

．
故答案为：

1

n+1

点评：当题目中遇到求曲线C在点A（m，n）点的切线方程时，其处理步骤为：①判断A点是否在C上②求出C对应函数的导函数③求出过A点的切线的斜率④代入点斜式方程，求出直线的方程．