Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁•x₂•…•x₂₀₁₁的值为（　　）

• A、

  1

  2010

• B、

  2009

  2010

• C、

  1

  2012

• D、

  2010

  2011

Answer 1

分析：先求出其导函数，把x=1代入，求出切线的斜率，进而得到切线方程，找到切线与x轴的交点的横坐标的表达式，即可求出结论．

解答：解：因为y=xⁿ⁺¹，
故y′=（n+1）xⁿ，
所以x=1时，y′=n+1，
则直线方程为y-1=（n+1）（x-1），
令y=0，则x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故切线与x轴的交点为（

n

n+1

，0）
则x₁•x₂•…•x₂₀₁₁=

1

2

×

2

3

× 

3

4

×…×

2011

2012

=

1

2012

．
故选C．

点评：本题主要考查导函数在求切线方程中的应用以及函数与数列的综合问题．在利用导函数求切线方程时，应知道切线的斜率为导函数在切点处的函数值．